לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת יחסים דו מקומים בהנתן יחס R 2 B C ויחס R 1 A B נגדיר את יחס ההרכבה ביניהם באופן הבא:.R 1 R 2 = {(a, c) A C (a, b) ו R 1 (b, c) כך ש R 2 b B {קיים A C עבור יחס,R A 2 נסמן.R 2 = R R בנוסף נסמן,R 1 = R ולכל + N i נסמן.R i+1 = R i R בהנתן יחס דו מקומי,R A 2 נסמן.R = i N + Ri תכונות של יחסים דו מקומיים תהי A קבוצה ויהי יחס.R A 2.(a, a) R מתקיים a A רפלקסיבי אמ"מ לכל R.(b, a) R אז (a, b) R מתקיים: אם a, b A סימטרי אמ"מ לכל R.(b, a) / R אזי (a, b) R מתקיים: אם a כך ש b a, b A אנטי סימטרי אמ"מ לכל R.(a, c) R אז (a, b), (b, c) R מתקיים: אם a, b, c A טרנזיטיבי אמ"מ לכל R יחס שקילות: יחס E A 2 הוא יחס שקילות אמ"מ הוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי..[a] E מחלקת השקילות של איבר a A ביחס השקילות E היא הקבוצה: E} {b A (a, b) = קבוצת המנה של יחס השקילות E, היא קבוצת מחלקות השקילות שלו, כלומר: A/E = {[a] E a A} 1
יחס שקילות וחלוקה: תהי A קבוצה כלשהי. קבוצה P של קבוצות נקראת חלוקה של A אם מתקיימים התנאים הבאים: P = A.1.2 לכל B, C P כך ש C B מתקיים = C.B / P.3 בהנתן חלוקה P של קבוצה A נגדיר את היחס הדו מקומי E P מעל A באופן הבא: {קיימת B P כך ש E P = {(x, y) A 2 x, y B 1. אם E הוא יחס שקילות על A, אז A/E היא חלוקה של A. 2. אם P היא חלוקה של A, אז E P הוא יחס שקילות על A. משפט: פונקציות: יחס f A B נקרא פונקציה אמ"מ לכל a A קיים b B יחיד כך ש f.(a, b) במקרה זה נסמן את הפונקציה f : A B וכן f (a) = b עבור.(a, b) f פונקציה f : A B היא חד חד ערכית (חח"ע, 1 1 ) אם לכל a 1, a 2 A כך ש a 1 a 2 מתקיים.f (a 1 ) f (a 2 ) פונקציה f : A B היא על אם לכל b B קיים a A כך ש b.f (a) = הוכחה באינדוקציה: תהי (P I,A) קבוצה המוגדרת באינדוקציה, באמצעות קבוצת בסיס A וקבוצת פונקציות P. תהי Y קבוצה כלשהי. כדי להוכיח כי I (A, P) Y מספיק להוכיח: בסיס: A Y סגור: Y סגורה תחת הפונקציות ב P, כלומר לכל פונקציה n מקומית f ב P מתקיים: אם a 1, a 2,..., a n Y אז.f(a 1, a 2,..., a n ) Y נאמר שקבוצות A, B הן שוות עוצמה, ונסמן,A B אם קיימת f : A B חד חד ערכית ועל. עוצמות: הגדרות: אם קבוצות,A B אינן שוות עוצמה, נסמן A. B נאמר שקבוצה A קטנה או שווה בעוצמתה לקבוצה B, ונסמן A, B אם קיימת f : A B חד חד ערכית. נאמר שקבוצה A קטנה ממש בעוצמתה מקבוצה,B ונסמן,A B אם A B וגם.A B קבוצה A נקראת סופית אם קיים n N כך ש { 1 n.a {0, 1,..., הגדרה שקולה: קבוצה A נקראת סופית אם A. N קבוצה A נקראת אינסופית אם.N A קבוצה A נקראת בת מניה אם.A N 2
משפטים שהוכחנו: איחוד בן מניה של קבוצות בנות מניה הוא קבוצה בת מניה. משפט קנטור: לכל קבוצה A מתקיים P(A) A. משפט קנטור ברנשטיין: בהנתן שתי קבוצות A ו B : קיימת פונקציה f : A B חח"ע וגם פונקציה g : B A חח"ע אמ"מ קיימת פונקציה h : A B חח"ע ועל (כלומר, A B וגם B A אמ"מ.(A B.R P(N) לכל קבוצה B מתקיים.P(B) {0, 1} B תחשיב הפסוקים: מושגי יסוד סמנטים: פסוק α נקרא טאוטולוגיה (ומסומן ) α אם לכל השמה v מתקיים.v(α) = T פסוק α נקרא סתירה אם לכל השמה v מתקיים.v(α) = F פסוק α נקרא ספיק אם קיימת השמה v כך שמתקיים.v(α) = T עבור פסוקים,α, β נאמר ש α גורר לוגית את β (או β נובע לוגית מ α ) ונסמן α, β אם לכל השמה v מתקיים: אם v(α) = T אז.v(β) = T עבור פסוקים,α, β נאמר ש α ו β שקולים לוגית, ונסמן α, β אם לכל השמה v מתקיים v(β).v(α) = עבור קבוצת פסוקים Σ והשמה v, נאמר ש v מספקת את Σ, אם לכל α Σ מתקיים.v(α) = T קבוצת פסוקים Σ תקרא ספיקה, אם קיימת השמה v המספקת אותה. עבור קבוצת פסוקים Σ ופסוק α, נאמר ש Σ גוררת לוגית את α (או α נובעת לוגית מ Σ ) ונסמן Σ, α אם לכל השמה v המספקת את Σ, מתקיים.v(α) = T נאמר שקבוצות פסוקים Σ 1, Σ 2 הן שקולות לוגית, ונסמן,Σ 1 Σ 2 אם לכל השמה v מתקיים:.v אמ"מ Σ 2 v Σ 1 הצבה במשתנים פסוקיים: בהינתן פונקצית הצבה,s : {p i i N} WFF הפסוק s) subst (α, מוגדר באינדוקציה על מבנה הפסוק: בסיס: לכל אטום.subst (p i, s) = s (p i ) :p i סגור: לכל :α, β.subst ( α, s) = subst (α, s) s)),subst ((α β), s) = (subst (α, s) subst (β, עבור קשר }, {,. צורות נורמליות של פסוקים קבוצת הפסוקים Disj היא הקבוצה האינדוקטיבית הבאה: בסיס: N} {p i i N} { p i i 3
פעולות: } {F קבוצת הפסוקים בצורת CNF היא הקבוצה האינדוקטיבית הבאה: בסיס: Disj פעולות: } {F קבוצת הפסוקים Conj היא הקבוצה האינדוקטיבית הבאה: בסיס: N} {p i i N} { p i i פעולות: } {F קבוצת הפסוקים בצורת DNF היא הקבוצה האינדוקטיבית הבאה: בסיס: Conj פעולות: } {F משפט: לכל פסוק ϕ WFF קיים פסוק שקול ϕ 1 בצורת CNF ופסוק שקול ϕ 2 בצורת.DNF מערכת הוכחה עבור {, } WFF האקסיומות של מערכת ההוכחה הן: לכל {, } WFF,α,,β γ (α (β α)) :A1 ((α (β γ)) ((α β) (α γ))) :A2 (( α β) (β α)) :A3 תהי {, } WFF Σ. נגדיר באינדוקציה את (Σ),Ded קבוצת הפסוקים היכיחים מ Σ : בסיס:,Σ A1 A2 A3 כאשר Ai היא קבוצת הפסוקים המתקבלים מהצבת {, } WFF α, β, γ באקסיומה.Ai סגור: Ponens).MP (ϕ, ϕ ψ) = ψ (Modus הגדרה: בהינתן קבוצת פסוקים {, } WFF Σ ופסוק {, } WFF,α נסמן Σ α ונאמר ש α יכיח מתוך Σ אם (Σ).α Ded משפט ההיסק (דדוקציה): לכל קבוצת פסוקים {, } WFF Σ, ולכל שני פסוקים {, } WFF,α, β מתקיים: β) Σ (α אמ"מ.Σ {α} β משפט הנאותות (במובן הרחב): לכל קבוצת פסוקים {, } WFF Σ ולכל פסוק {, } WFF α מתקיים: אם.Σ α אז Σ α (במילים אחרות, (Σ),Ded (Σ) Con כאשר (Σ) Con היא קבוצת הפסוקים הנובעים לוגית מ Σ ). 4
משפט הנאותות (במובן הצר): לכל פסוק {, } WFF α מתקיים: אם α אז. α (במילים אחרות, ( ) Con,Ded ( ) כאשר ( ) Con היא קבוצת הטאוטולוגיות). משפט השלמות: לכל קבוצת פסוקים {, } WFF Σ ולכל פסוק {, } WFF α מתקיים: אם Σ α אז.Σ α (במילים אחרות, (Σ).(Con (Σ) Ded עקביות: הגדרה: קבוצת פסוקים Σ היא עקבית אם לא קיים פסוק α כך ש α Σ וגם Σ. α הגדרה שקולה: קבוצת פסוקים Σ היא עקבית אם קיים פסוק β כך ש β Σ. משפט: קבוצת פסוקים Σ היא עקבית אמ"מ היא ספיקה. עקביות מקסימלית: הגדרה: קבוצת פסוקים Σ היא עקבית מקסימלית אם Σ עקבית ולכל פסוק α מתקיים:.Σ α או Σ α משפט: קבוצת פסוקים Σ היא עקבית מקסימלית אמ"מ יש בדיוק השמה אחת המספקת את Σ. משפט הקומפקטיות: קבוצת פסוקים Σ היא ספיקה אמ"מ כל תת קבוצה סופית שלה היא ספיקה. גדירות בתחשיב הפסוקים: נסמן ב Ass את קבוצת כל ההשמות. עבור קבוצת פסוקים Σ נסמן v} מספקת את.M (Σ) = {v Ass Σ נאמר שקבוצת פסוקים Σ מגדירה קבוצת השמות K אם מתקיים M. (Σ) = K קבוצת השמות K תקרא גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים Σ שמגדירה אותה (כלומר, M). (Σ) = K תחשיב היחסים: אוסף שמות העצם (ש"ע) מעל מילון τ היא קבוצה אינדוקטיבית (P Term (τ) = I,A) כאשר: בסיס: }..., 2 A = {x 0, x 1,... } {c 1, c (משתנים וסמני הקבוע שבמילון (τ פעולות: {סימני הפונקציה שבמילון P = τ} אוסף הנוסחאות האטומיות מעל מילון τ היא הקבוצה (τ) AF המוגדרת באופן הבא: לכל סימן יחס, n מקומי R i במילון τ ולכל (τ) t 1, t 2,..., t n Term (ש"ע), הביטוי ) n R i (t 1, t 2,..., t הוא נוסחה אטומית. כמו כן, לכל (τ) t 1, t 2 Term (ש"ע),הביטוי ) 2 (t 1 t הוא נוסחה אטומית. 5
אוסף הנוסחאות מעל מילון τ היא קבוצה אינדוקטיבית (P I,A) כאשר: בסיס: (τ) A = AF (הנוסחאות האטומיות) פעולות: N} P = {,,, } { x i i N} { x i i כאשר הפעלת קשרים מתבצעת באופן זהה לתחשיב הפסוקים והפעלת כמתים באופן הבא: אם ϕ נוסחה אז לכל i N גם ϕ) ( x i ו ( ϕ ( x i הן נוסחאות. נוסחאות בצורת (Prenex Normal Form) PNF קבוצת הנוסחאות חסרות הכמתים מעל מילון τ היא הקבוצה (τ) QF המוגדרת באינדוקציה: בסיס: (τ) AF (הנוסחאות האטומטיות) פעולות: },, {, (קבוצת הקשרים) קבוצת הנוסחאות בצורת PNF מעל מילון τ היא הקבוצה (τ) PNF המוגדרת באינדוקציה: בסיס: (τ) QF (הנוסחאות חסרות הכמתים) פעולות: } i { x i, x (הכמתים) משפט ה PNF : לכל נוסחה ϕ מעל τ קיימת נוסחה ψ בצורת PNF כך ש ϕ ψ. הגדרות: בהינתן נוסחה ϕ, מופע של משתנה x i ב ϕ נקרא קשור אם הוא נמצא בטווח של כמת x i או x. i עבור משתנה x i בנוסחה ϕ נאמר ש x i חופשי ב ϕ אם קיים מופע של x i ב ϕ שאינו קשור. הנוסחה ϕ תקרא פסוק אם אין ב ϕ משתנים חופשיים. מבנה: בהינתן מילון..., 2.τ = R 1, R 2,..., F 1, F 2,..., c 1, c מבנה..., 2 M = D M, R1 M, RM 2,..., F 1 M, F 2 M,..., cm 1, cm עבור τ מורכב מהחלקים הבאים: M D קבוצת התחום, העולם. D. M מעל הוא יחס n מקומי Ri M n מקומי, R i עבור סימן יחס R. i הפירוש של סימן יחס Ri M D. M מעל היא פונקציה n מקומית F M i n מקומי, F i עבור סימן פו' F. i הפירוש של סימן פונקציה F M i.d M איבר בתחום.c i הפירוש של סימן קבוע c M i לכל השמה s, ההשמה המורחבת היא פונקציה s : Term (τ) D M המוגדרת באינדוקציה על מבנה שמות העצם: בסיס: לכל משתנה s (x i ) = s (x i ),x i לכל סימן קבוע s (c i ) = c M i,c i 6
s (F i (t 1, t 2,..., t n )) = Fi סגור: לכל סימן פונקציה n מקומי, F i )) n M (s (t 1 ), s (t 2 ),..., s (t עבור מבנה M, השמה s ונוסחה ϕ היחס (M M s ϕ ו s מספקים את ϕ) מוגדר באינדוקציה: בסיס: ) n M = s R i (t 1, t 2,..., t אמ"מ (s (t 1 ), s (t 2 ),..., s (t n )) Ri M s (t 1 ) = s (t 2 ) אמ"מ M = s (t 1 t 2 ) סגור: ( ϕ) M s אמ"מ M s ϕ M s או ϕ 1 M s אמ"מ ϕ 2 M s (ϕ 1 ϕ 2 ) M s וגם ϕ 1 M s אמ"מ ϕ 2 M s (ϕ 1 ϕ 2 ) M s או ϕ 2 M s כלומר ϕ 1 (M s אז ϕ 2 M s אמ"מ (אם ϕ 1 M s (ϕ 1 ϕ 2 ) M = s[xi d] ϕ מתקיים d D M אמ"מ לכל M = s ( x i ϕ) M = s[xi d] ϕ שמקיים d D M אמ"מ קיים M = s ( x i ϕ) מושגי יסוד סמנטים: עבור קבוצת נוסחאות Σ, מבנה M והשמה s ב M, נאמר ש Σ מסתפקת במבנה M תחת השמה s, ונסמן.M s ϕ מתקיים: ϕ Σ אם לכל,M s Σ נוסחה ϕ תקרא אמת לוגית אם לכל מבנה M ולכל השמה s ב M מתקיים M. s ϕ נוסחה ϕ תקרא סתירה אם לכל מבנה M וכל השמה s ב M מתקיים M. s ϕ נוסחה ϕ תקרא ספיקה אם קיים מבנה M וקיימת השמה s ב M כך שמתקיים M. s ϕ קבוצת נוסחאות Σ נקראת ספיקה אם קיימים מבנה M והשמה s ב M כך שמתקיים M. s Σ עבור קבוצת נוסחאות Σ ונוסחה ϕ, נאמר ש Σ גוררת לוגית את ϕ, ונסמן Σ, ϕ אם לכל מבנה M ולכל השמה.M s ϕ אז M s Σ אם מתקיים: ב M s משפט הקומפקטיות: קבוצת נוסחאות Σ היא ספיקה אמ"מ כל תת קבוצה סופית של Σ היא ספיקה. גדירות של אוסף מבנים בתחשיב היחסים: בהנתן מילון τ נסמן ב ( τ ) Str את אוסף המבנים מעל τ. עבור קבוצת פסוקים Σ (מעל (τ נסמן Σ}.M (Σ) = {M Str (τ) M קבוצת פסוקים Σ (מעל τ) מגדירה אוסף מבנים K (מעל τ) אם מתקיים (Σ) K. = M אוסף מבנים K יקרא גדיר (מעל τ) אם קיימת קבוצת פסוקים Σ (מעל τ) שמגדירה אותו. בהינתן קבוצה Ω וקבוצת מבנים K (מעל τ), נאמר ש K גדירה ב Ω אם קיימת קבוצת פסוקים Σ (מעל τ) כך שלכל מבנה (τ) M Str המקיים,D M Ω מתקיים M K אמ"מ M(Σ).M גדירות של יחס בתוך מבנה: יהי M מבנה מעל מילון τ. עבור יחס P ( D (M n נאמר ש P יחס גדיר במבנה M אם קיימת נוסחה ϕ מעל τ עם משתנים חופשיים x 1, x 2,..., x n כך שלכל השמה s מתקיים:.(s (x 1 ), s (x 2 ),..., s (x n )) P אמ"מ M s ϕ במקרה זה נאמר כי ϕ מגדירה את P במבנה M. 7